上述Delta機器人的關節(jié)空間軌跡規(guī)劃及其動力學軌跡優(yōu)化模型是對關節(jié)空間驅動 電機的軌跡規(guī)劃及其動力學優(yōu)化模型，動力學優(yōu)化后，減小了所需驅動電機力矩和功率 的峰值。由圖3-12可知，關節(jié)空間軌跡規(guī)劃擬合曲線經過運動學正解轉換得到的工作空 間擬合曲線，在末端執(zhí)行器豎直方向運行階段，x方向的速度、加速度擬合曲線稍有抖 動，擬合曲線的加速度峰值相差較大?？紤]到工作空間的各種情況，例如，在某些特殊 情況下，抓取和釋放物體時豎直運行階段水平方向不能抖動，工作空間擬合曲線的加速 度峰值要求在一定范圍內等，即要求機器人具有良好的工作空間性能。由于在工作空間 內進行軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線一般具有良好的工作空間性能，為了實現上述要求，本 小節(jié)將對Delta機器人進行工作空間的軌跡規(guī)劃。

3.5.1工作空間關鍵點的選取

為了確定工作空間中的軌跡規(guī)劃路徑，并使機器人在整個運行過程中，末端執(zhí)行器 避開障礙物，在工作空間的軌跡規(guī)劃中選取6個工作空間關鍵點。為了將工作空間軌跡 規(guī)劃與關節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線進行對比，工作空間選取的關鍵點應盡量與關 節(jié)空間軌跡規(guī)劃選取的工作空間關鍵點重合，工作空間軌跡規(guī)劃中選取的工作空間關鍵 點如圖3-14所示。其中，點0, 2, 3, 5與11個工作空間關鍵點的關節(jié)空間軌跡規(guī)劃中 選取的相應工作空間關鍵點重合，點1，4分別與點0, 5構成工作空間豎直方向軌跡路徑。

由圖3-14可以看出，抓取和釋放物體階段，擬合曲線沒有水平方向的抖動，擬合曲 線的拐彎半徑較大，有利于改變工作空間中末端執(zhí)行器的運動方向，末端執(zhí)行器水平運 行階段擬合曲線沒有豎直方向的抖動，這將有利于增加末端執(zhí)行器的穩(wěn)定性。

3.5.2工作空間運動學五次樣條函數模型

與關節(jié)空間軌跡規(guī)劃類似，工作空間的軌跡規(guī)劃同樣使用五次樣條函數，并使用相 應的工作空間6個關鍵點的工作空間軌跡規(guī)劃算法，以期待得到連續(xù)可導的工作空間位 移、速度、加速度、加加速度擬合曲線。

五次樣條函數數學模型如公式（3-6)所不，其中/(x)，/(x)，/(x)，/(x)，/(x), 分別表示工作空間內位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一階導數，x表示 每段工作空間擬合曲線首尾的時間差。在笛卡爾坐標系中，為了使工作空間內相鄰具有 x或y方向位移、速度、加速度、加加速度的擬合曲線關鍵點連接處連續(xù)可導，需要建 立合理的工作空間邊界條件，其邊界條件如公式（3-7)、（3-8)、（3-9)、（3-10)所示。

Delta兩自由度高速并聯工業(yè)機器人有兩個工作空間輸出量，其系數矩陣稍有不同， 這里將分別對工作空間內兩輸出量進行闡述。在工作空間擬合曲線12, 23, 34段有x方 向的輸出量，它是由4個工作空間關鍵點組成了三段擬合曲線，利用公式（3-7)、（3-8)、 (3-9)、（3-10)可得到工作空間內從關鍵點1到關鍵點4的含有18個未知量的18個關于時間的線性方程組，對其整理得到矩陣5^=^^次，（與尤類似如公式（3-11)所示。

在工作空間擬合曲線01, 12段和34, 45段分別有y方向的輸出量，現只對擬合曲 線01, 12段^方向的輸出量擬合曲線進行闡述，擬合曲線34，45段j方向的輸出量擬 合曲線求法與下述方法類似。工作空間擬合曲線01，12段是由3個工作空間點組成的 兩段擬合曲線，利用公式（3-7)、（3-8)、（3-9)、（3-10)可得到工作空間內從關鍵點0 到關鍵點2的含有12個未知量的12個關于時間的線性方程組，對其進行整理得到矩陣 ^與尤類似如公式（3-11)所示。

3.5.3動力學軌跡優(yōu)化模型

在關節(jié)空間軌跡規(guī)劃中加入了動力學的軌跡優(yōu)化模型，該動力學優(yōu)化模型是對關節(jié) 空間內驅動電機力矩和功率的優(yōu)化，主要目的是為了減小機器人所需驅動電機的力矩和 功率。同樣在工作空間的軌跡規(guī)劃中，建立了工作空間內的力-運動動力學模型和關節(jié)空 間內的動力學模型，其中工作空間軌跡規(guī)劃及其關節(jié)空間內的動力學優(yōu)化模型，與關節(jié) 空間軌跡規(guī)劃及其關節(jié)空間內的動力學優(yōu)化模型類似，這里不再贅述。

將工作空間內的力-運動動力學模型加入到工作空間軌跡規(guī)劃的主要目的是，在不 改變被加持或被吸盤吸住物體的形狀和質量的情況下，盡量降低所需夾持力或吸盤吸力 峰值，也就是降低末端執(zhí)行器的加速度峰值，并且末端執(zhí)行器的速度和加速度應盡量維 持在峰值以加快Delta機器人工作空間或關節(jié)空間內的運行速度，從而從根本上降低每 個循環(huán)周期所需時間。

工作空間軌跡規(guī)劃后，進行動力學優(yōu)化的目標有兩個：一是在不增加末端執(zhí)行器速 度和加速度的情況下，盡量縮短一個工作循環(huán)的時間，即末端執(zhí)行器的峰值速度和峰值 加速度確定，盡量增加機器人末端執(zhí)行器的運行速度；二是在不改變一個循環(huán)周期的情 況下，盡量降低所需末端執(zhí)行器的峰值速度和峰值加速度。如上所述，在大多數情況下， 純粹對時間周期的優(yōu)化幾乎不能求解，因此，在工作空間的動力學優(yōu)化模型中，同樣將 時間周期設為常數1,即機器人運行一個循環(huán)所需時間是1秒鐘，并將末端執(zhí)行器的速 度和加速度作為動力學優(yōu)化的目標。